А могут?

Завтра надо в военкомат зайти (не кошу).

Отсрочка по обучению по 30 июня, могут ли они мне вручить повестку с вещами?

Вполне могут. Почему бы и нет? На июль.

Чувак, не суйся туда нахрен до 15 июля!!!

Поскольку до 30 июня у Вас действует отсрочка по обучению, то все мероприятия, связанные с призывом в отношении Вас незаконны, то есть, в военкомате Вам делать просто нечего. Однако, если Вы собираетесь проходить службу в ВС, то вполне можете "закрыть глаза" на нарушения военкомата и проходить призывные мероприятия и до 30 июня, а следовательно - быть готовым получить повестку "с вещами" скажем на 1 июля...

Кстати не дали мне повестку

Обычно они проводят мед. освидетельствование и дают повестку на призывную комиссию, а когда у вас заканчивается отсрочка просто выдают вам повестку на отправку.